Les débuts de l’Algèbre – Al-jabr wa al-muqâbala

Dans mon dernier article, nous avons vu qu’Al-Khwârizmî était un fondateur de l’algèbre et a découvert les piliers de nos connaissances actuelles qu’il répandit à travers son ouvrage Al-jabr wa al-muqâbala. Je vous propose aujourd’hui de découvrir les grands traits de ce livre et les notions, souvent simples, mais inconnues pour l’époque (IXème siècle !!!) qui y sont expliquées.

Le livre, dont le titre peut être traduit par Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison se compose de trois parties : l’introduction ; une partie où il présente des opérations de calcul, puis une autre listant des exemples et des cas résolus.

Introduction :

Il était de tradition pour l’époque décrire des louanges et prières à Dieu, et expliquer brièvement ce qui apparaît dans le livre.

Première partie :

Le premier chapitre de cette partie traite du système de numération décimale et considère trois objets algébriques :

• Les nombres (remplacés dans le livre par l’unité monétaire “dirham”)
• Les racines (il ne parlait pas de « √ » mais utilisait le mot racine pour désigner une inconnue ; x est une racine)
• Les carrés des racines (x²)

N.B. : À l’époque d’Al-Khwârizmî, les mathématiciens ne connaissent pas les nombres négatifs et l’Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison n’abordera pas ce sujet.

Son deuxième chapitre aborde les notions d’équations (1^er et 2^nd degré).

Exemples : [2x + 3 = 7x + 5] est une équation du premier degré. [2×2 + 5x b 7 = 0] est une équation du second degré.

Les nombres négatifs mis de côté, Al-Khwârizmî a réussi à établir six cas dans lesquels a, b et c sont obligatoirement positifs. Les voici (où a non nul) :

1. Les carrés égalent les racines :  ;
2. Les carrés égalent les nombres :  ;
3. Les racines égalent les nombres :  ;
4. Les carrés et les racines égalent les nombres :  ;
5. Les carrés et les nombres égalent les racines :  ;
6. Les racines et les nombres égalent les carrés : .

Chacun des six cas fut accompagné d’une d’exemples et d’une méthode de résolution qui sera démontrée, parfois même de par la géométrie.

Dans son troisième chapitre, il étend l’algèbre sur des domaines beaucoup moins maîtrisés, qu’il ratera parfois, comme les nombres irrationnels, les inconnues et les polynômes

Il réussira même à démontrer, des opérations comme celle-ci :

Le dernier chapitre ne se constitue que d’exemples et d’applications des méthodes précédemment établies.

Deuxième partie :

Cette partie beaucoup plus longue s’intéresse plus à des problèmes essentiels pour les populations : « la résolution de problèmes de transactions commerciales, d’arpentage [mesure de la superficie des terrains agricoles] et de répartition des héritages. ».

Al-Khwârizmî a donc effectué des progrès incroyables, marquant l’histoire, et, qui sait, notre mathématique comme nous l’aimons ne serait peut-être pas la même à ce jour !

J’espère que vous avez apprécié la lecture de cette article. Pour rappel, je tiens Le blog des matheux où je met souvent à jour. Vous pouvez vous abonner pour recevoir un mail à la sortie de chaque nouvel article, et si ça vous a plu, commentez et partagez !