Théorèmes de Fermat #1

Dans cet courte série d’articles, nous pourrons découvrir les plus importants travaux de Pierre de Fermat.

Aujourd’hui, ce sera…

Le Petit théorème de Fermat :

Le “Petit” théorème de Fermat est un un théorème retrouvé dans un lettre de Fermat pour Frénicle de Bessy publiée après sa mort par son fils. Mauvaise habitude de Fermat : il ne donnait ni démonstration ni indication, juste des problèmes et des hypothèses. Leibniz se chargera vers 1863 de rédiger une démonstration du petit théorème de Fermat qu’il ne publiera malheureusement pas. Vous pourrez parfois entendre que ce théorème était déjà connu en Chine avant Fermat mais cette fausse affirmation n’est que le résultat de traductions déformées au fil des citations.

Le petit théorème de Fermat est le suivant : “Si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^p-1-1 est un multiple de p”.

Aussi, un équivalent énonce que “Si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors a^p-a est un multiple de p”

Dans le cas où vous ne sauriez pas ce qu’est un nombre premier, je vous reconduis vers cet article qui détaille bien la conjecture de Goldbach.

Quelques exemples basés sur le premier énoncé :

• p = 7 et a = 10. Alors 10^7-1-1 = 999 999 qui est un multiple de 7 (999 999 ÷ 7 = 142 857)
• p = 2 et a = 5. Alors 5^2-1-1 = 4 ; multiple de p.

Quelques exemples basés sur le second énoncé :

• p = 2 et a = 8. Alors 8² – 8 = 56 étant divisible par 2 (p)
• p = 5 et a = 22. Alors 22⁵ – 22 = 5 153 610 ; lui divisible par 5 (p)

Mais alors, à quoi ça sert ???

On utilise le petit théorème de Fermat dans plusieurs domaines…

En plus de son application théorique et de l’envie des mathématiciens de comprendre le monde qui nous entoure, le petit théorème de Fermat a son utilité dans des domaines tels que la cryptographie asymétrique ouvrant la porte à plusieurs clés de chiffrement, mais aussi dans les tests de primalité ou encore dans la compréhension des nombres pseudo-premiers.

Ce théorème qui fût essentiel à l’évolution des mathématiques modernes a donc fait le succès de Pierre de Fermat, mais surtout, vous a permis aujourd’hui de savoir et de comprendre une notion en plus ; du moins je l’espère.

Dans quelques jours, nous découvrirons dans le deuxième article de cette mini-série des théorèmes de Fermat un nouveau théorème et son histoire.

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