Dans notre dernier article, nous avons pris connaissance du mathématicien à l’origine de la conjecture de Goldbach.
Cette conjecture établit l’affirmation suivante : Tout nombre pair strictement supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.
Sa simplicité pousserait à croire que la démonstration d’une telle conjecture demeure enfantine, mais bien au contraire, depuis des siècles aucun mathématicien n’a réussi à la prouver.
Au commencement, Goldbach proposa à Euler en 1742 dans une lettre sa conjecture. Si vous souhaitez retrouvez la correspondance entre Euler et Goldbach, un site y est réservé.
Même le grand savant qu’est Leonard Euler a répondu que le résultat est “totalement certain, bien que je [Euler] ne sois pas capable moi-même de le démontrer”. Leonard n’a aucune inquiétude à se faire car presque 3 siècles plus tard, la conjecture attend encore sagement le bon mathématicien.
Pour rappel, un nombre premier est en arithmétique un nombre qui n’a que deux diviseurs entiers naturels, 1 et lui-même. Par exemple, 29 = 29 ÷ 1 et aucune autre division d’entiers naturels, donc c’est un nombre premier ; 25 = 25 ÷ 1 mais aussi 50 ÷ 2 donc ce n’est pas un nombre premier. Il existe d’après Les Éléments d’Euclide une infinité de nombres premiers.
Revenant à la conjecture en elle-même, nous pouvons donner quelques cas où elle s’applique (N.B. : il peut y avoir plusieurs résultats pour un même nombre pair, je ne les donnerai pas tous).
36 = 5 + 31 ou 7 + 29 ; 78 = 5 + 73 ou 11 + 67 ; 22 = 11 + 11 ou 3 + 19 ; etc…
Par ailleurs, si vous souhaitez tester des nombres qui s’appliquent à la conjecture et trouver leur(s) somme(s) de nombres premiers, le lien suivant comblera votre souhait : https://www.dcode.fr/conjecture-goldbach.
Le théorème des 4 couleurs (sur lequel j’ai écrit un article) a lui été démontré par un ordinateur, mais alors, pour la conjecture de Goldbach, pourrait-on faire de même ?
Pour l’instant, non. Un ordinateur peut vérifier qu’elle s’applique jusqu’à un certain nombre pair mais comme il y’a une infinité de nombres pairs, il est impossible d’essayer toutes les possibilités. Il faut passer par un raisonnement que seul, (pour l’instant) un Homme peut passer.
Depuis 3 siècles, des progrès ont quand même été réalisés…
En 1973, un mathématicien du nom de Chen Jingrun a montré que tout nombre pair est le résultat (non pas de la somme de deux nombres premiers) mais de la somme d’un nombre premier et d’un nombre semi-premier. Un nombre semi-premier est un nombre qui peut s’écrire sous la forme du produit de nombres premiers. Par exemple 25 est un nombre semi-premier car 25 = 5×5. Comme exemple d’une somme d’un nombre premier et d’un nombre semi-premier, nous trouvons : 28 = 25 + 3. 28 est pair, 25 est semi-premier et 3 est premier.
Nous n’y sommes pas encore… mais ça approche !
Le progrès le plus récent date de 1995 par un français : Olivier Ramaré a démontré que tout nombre pair peut s’écrire sous la forme d’une somme d’au plus 6 nombres premiers.
Même s’il reste du chemin à parcourir, le temps qui nous sépare du futur « Théorème de Goldbach » se réduit comme une peau de chagrin…
Le blog des matheux 
Pour moi la demonstration est très simple ( peut-être j’ai tort) , si on exclut 4=2+2 ,tous les autres nombres paires supérieurs à 2 c’est-à-dire appartenant à l’intervalle (6 , + l’infini) peuvent être écrits sous la forme 2(x+x’+1) qui correspond à la somme de deux nombres premiers écrits sous la forme 2x+1 et 2x’+1 et par la suite 2(x+x’+1)= (2x+1)+(2x’+1) et l’inverse est vrai .
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Bonjour Ben Ouhida Hassène !
Je n’ai pas très bien compris à quoi correspondent x et x’ ? Des nombres premiers ?
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Si je prends deux nombres premiers comme 3 et 7 je peux les écrire sous la forme 2x+1 puisque toute écriture de 2x dans N* correspond à un nombre paire (multiple de 2) et vu que tous les nombres premiers sauf deux sont impairs , ils peuvent être écrits sous cette forme (2x+1) . Exemple : 3= (2×1)+1 ; 7= (2×3)+1 . Si je prends maintenant deux nombres premiers p et p’ et que je vais écrire sous la forme 2x+1 j’aurais p=2x+1 et p’=2x’+1 avec x et x ‘ deux entiers naturels non nuls . Je peux aussi écrire 2 =(2×1/2)+1 et donc généraliser cette écriture à tous les nombres premiers et dire que pour toute écriture d’un nombre premier sous le forme 2x+1 x est un entier naturel sauf pour 2 où il correspond au nombre fractionnel 1/2 .
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X: ensemble des nombres premiers ; Y: enemble des nombres pairs
X → Y
X ← Y (2x+1)+(2x’+1) ⇔ 2(x+x’+1)
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