Le blog des matheux

Le théorème de DESCARTES

Ce lundi nous avons fait la connaissance d’un des plus grands mathématiciens de notre ère : René Descartes dans mon article. Alors aujourd’hui, nous pourrons parler d’un des deux théorèmes le plus célèbre et portant son nom.

En effet, il existe deux « Théorèmes de Descartes » mais aujourd’hui, nous aborderons le sujet de son théorème de géométrie qu’il pensa et écrit en 1643.

Le Théorème de Descartes est un théorème selon lequel nous pouvons établir plusieurs relations avec des cas précis de tangentes.

Qu’est-ce qu’une tangente ?

La tangente à une courbe est la droite qui touche cette courbe en un seul point. On appelle cercles tangents deux à deux, deux cercles qui ne se touchent tous les deux qu’en un même point.

Qu’est-ce qu’un cercle de Soddy ?

Si nous avons trois cercles tangents deux à deux, les cercles de Soddy sont les deux cercles qui leur sont tangents.

Voici le cas du Théorème des cercles de Descartes (où nos trois cercles tangents deux à deux sont inscrits dans un cercle) :

Pour établir une première relation : Étant donné le cas ci-dessus, avec trois cercles tangents deux à deux, il existe des cercles c4 et c5 tels que :

Si k₁ = 1/r₁ ; k₂ = 1/r₂ ; k₃ = 1/r₃ ; k₄ = 1/r₄ ; k₅ = 1/r₅ sont les inverses des rayons des cinq cercles, on obtient plusieurs relations telles que : [k₄ = (k₁ + k₂ + k₃) + 2rac(k₁k₂ + k₂k₃ + k₁k₃) et du rayon r₄ = 1/k₄]. Ce qui peut permettre de trouver le centre O₄ en choisissant la bonne intersection du cercle de centre O₁ et de rayon r₁+ r₄ avec le cercle centre O₂ et de rayon r₂ + r₄.

La formule de Descartes découverte en 1643 découle du théorème en établissant la relation : (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃²+ k₄²) entre les courbures de quatre cercles tangents entre eux.

Maintenant nous pouvons utiliser nos connaissances sur les cercles de Soddy pour trouver nos deux cercles de Soddy tangents à 3 autres dans le cas précédemment utilisé :

Et intervient parmi nous l’incroyable, l’inévitable : THÉORÈME DE PYTHAGORE !

Et oui, ce célèbre théorème aussi permet d’établir plusieurs relations avec les cercles tangents du théorème de Descartes.

Puis les plus glamours, les plus mignons, et incroyables : KISSING CIRCLES

AH NON ! Aucun rapport avec les bisous… Mais avec notre théorème.

Il existe une infinité de cercles tangents 4 à 4 que Soddy à eu le génie d’appeler « kissing circles ». Pourquoi ? –>

Ici, les nombres correspondent aux courbures.

Voilà pleins de kissing circles !

Aujourd’hui nous avons donc pu découvrir le théorème de Descartes dans tout sa splendeur ! Mais sa complexité… Si vous avez aimé ce petit article plein de relations, laissez un petit commentaire et si vous en voulez un autre avec plus de détails sur ce théorème et plus d’explication avec démonstrations, c’est avec plaisir : avec les comm. Vous pouvez vous abonner pour recevoir des mails à chaque nouvel article.

Merci, et à Vendredi pour un petit article… surprise !

René Descartes – L’Homme de tous les temps

Aujourd’hui nous plongeons dans le XVIIe siècle pour comprendre le mathématicien le plus connu de son époque : René Descartes.

Né français d’origine de Tourane en 1596, René sera un enfant éduqué jusqu’à ses 16 ans au collège des Jésuites de la flèche. Il est déjà, à cette époque, passionné par la science restant son principal outil de réflexion.

N’était enseignée à l’époque que la doctrine d’Aristote mais René, briseur de codes, inventera son propre système qu’il fonde sur la raison. Le pilier de sa doctrine demeure sans nul doute cette phrase d’une vérité irrécusable : « Je pense, donc j’existe », plus célèbre sous la forme « Je pense, donc je suis ».

Cependant, le courant de pensée qu’il entraînera relevait de certains débats tels que ceux du rationalisme, sujet de tension.

Par la suite, il mourra d’une pneumonie en Suède en 1650 après avoir vécu quelques années en Hollande.

Si son cartésianisme (sa doctrine) vous intéresse, dites-le moi en commentaire afin que nous fassions un article là-dessus. Pour l’approfondir, je vous conseil vivement de lire son Discours de la méthode, facilement trouvable sur Internet.

Ce mercredi, nous aborderons le théorème qui porte son nom et vous pourrez vous étonner de son génie malgré les moyens de son époque !

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Quand on me fait une offense, je tâche d’élever mon âme si haut que l’offense ne parvient pas jusqu’à elle.
René Descartes

8 anecdotes étonnantes sur Einstein

Einstein dans sa splendeur a comme toute personne des histoires étonnantes beaucoup moins connues sur sa vie…

1) Le prix Nobel s’accompagne toujours d’une somme d’argent…et Einstein a reçu en 1921 celui de Physique accompagné de 10 millions de couronnes suédoises, soit environ 1 million d’euros. Cependant, il donna cet argent à sa femme car ils s’apprêtaient à divorcer. Pourquoi ? Albert souhaitait épouser sa propre cousine !

Nobel Prize - #OTD, 5 December, 1932 Albert Einstein was... | Facebook

2) C’est connu, Einstein adorait la voile ! Mais il se déplaçait quand même en voiture ; et de toute sa vie, JAMAIS il n’a eu le permis de conduire. L’humain n’était pas trop fait pour lui…

3) Le vœux d’Albert restait d’être incinéré à sa mort. Seulement, ce n’est pas ce qui se produisit. Son cerveau fut volé ! Voyageant de laboratoires en laboratoires et victime de maintes dissections… La sagesse, on l’a ; ou on la pas !

4) Pour peu, personne ne connaît les derniers mots du scientifique : l’infirmière à laquelle Albert avait parlé ne connaissait pas l’Allemand. Mais on a retrouvé ces mots qu’il écrivait au moment de sa mort : « les passions politiques, une fois avivées, exigent (de) leurs victimes … »

5) Le grand maître de la galaxie, vous savez qui c’est ? Oui, c’est ça, Maître Yoda, ce même Maître Yoda qui d’après son créateur est inspiré des traits d’Einstein visant à lui donner des airs « intelligents ».

6) Albert Einstein a raté son test d’entrée à l’école polytechnique. Comme quoi, même les plus grands échouent !

7) Sa première femme a été enseignante. Il paraît que ça redevient à la mode chez les politiciens.

8) Il n’a jamais posé pour la célèbre photo où il tire la langue, pris par surprise !

Pour finir, il paraît qu’Albert Einstein fut surveillé de très prêt pendant toute sa vie par le FBI qui déteindrait plus de 1400 pages sur lui. Vous voulez plus d’anecdotes ? Vous savez où vous rendre.

Au FBI ou sur ma page Insta… vous choisissez

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Le théorème de Jordan

Ce lundi, nous avons en bref découvert la vie de Camille Jordan, article vers lequel je vous reconduis.

Mon article sur Camille Jordan

Aujourd’hui, nous allons donc ensemble retracer les chemins du théorème le plus connu qu’il ai démontré, portant dignement son nom.

Le théorème : Si l’on dessine sans lever le crayon une courbe qui commence par un point et se termine en ce même point sans s’auto-couper, cette courbe partagera le plan en deux parties –> l’intérieur et l’extérieur.

Ici un exemple de courbe sur laquelle s’applique le théorème

Simple à démontrer ? Loin de là…

Pour comprendre le procédé de Jordan, nous nécessitons certaines connaissances :

Les courbes de Jordan :

Aussi appelées courbes fermées simples, les courbes de Jordan se définissent par un lacet simple : une courbe pouvant être tracée d’une traite dont le point de commencement reste le même que celui d’arrivée sauf qu’elle ne doit pas « s’autocroiser ». Une sorte de cercle déformé. Ci-dessous une courbe qui n’est pas une courbe de Jordan :

Plus mathématiquement, voici l’énoncé : Le complémentaire d’une courbe de Jordan dans un plan affine réel est formé d’exactement deux composantes connexes distinctes, l’une bornée et l’autre non. Toutes deux ont pour frontière la courbe de Jordan.

Contrairement à ce que vous pouvez penser, la démonstration rigoureuse de l’ex-conjecture à été complexe et plusieurs mathématiciens s’y sont collés avant Camille Jordan comme Bernard Bolzano père de la topologie.

Parmi les difficultés imposées, nous trouvons celle des plans 3d dans lesquels nous ne pouvons ni parler d’intérieur ni d’extérieur. Aussi, tous les lacets simples n’insinuent pas la simplicité, comme celui-ci :

La courbe ci-dessus, appelée flocon de Von Koch, un cas avec fractales à la longueur infinie.

La construction du flocon de Von Koch passe par plusieurs étapes.

On commence par tracer un triangle équilatéral
On construit un autre triangle équilatéral sur le deuxième tiers de chaque côté de la figure précédente
Puis on continue ainsi de suite à l’infini.

On doit obtenir ça :

Ainsi, nous pouvons comprendre qu’il existe plusieurs courbes de Jordan très complexes.

Pour revenir à la démonstration du théorème, Jordan a procédé de la manière suivante pour éviter toute complexité :

D’une part, il a prouvé qui si la courbe est un polygone, alors le théorème s’applique –> Il faut prendre une courbe de Jordan polygone et tracer dans une même direction (par exemple Nord) des droites à partir d’un point qui ne touche pas les traits de la courbe. Si le nombre d’intersections de ce trait avec ceux de la courbe est pair, on colorie le point de départ de la droite en rouge, s’il est impair en bleu. On voit ensuite que tous les points bleus se trouvent dans la figure et tous les rouges à l’extérieur.

Par la suite, à partir d’arguments fondés il a pu utiliser cette expérience pour démontrer le théorème sur les polygones.

Si c’est vrai pour un polygone simple, c’est vrai pour un lacet simple (Jordan a aussi expliqué cette affirmation qui reste un peu trop complexe et longue à expliquer pour cet article).

Il a réussi avec rigueur et simplicité à DÉMONTRER le théorème !

Cependant, certains mathématiciens s’obstineront à dire que la démonstration restait assez lacunaire. Un autre mathématicien (Oswald Veblen) s’y attachera donc et arrivera à son objectif mais malgré cela le théorème conservera le nom de Camille Jordan.

Sur ce, je vous quitte. N’hésitez pas à laisser un commentaire, partagez et abonnez-vous à la Newsletter pour recevoir un mail à chaque nouvel article.

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Prêt à perdre des neurones ? Les maisons de Dudeney

BONJOUR À TOUS ! Vous allez bien ?

Ce week-end, je vous propose une énigme du célèbre Henri Dudeney parue pour la première fois dans son livre Amusements of Mathematics en 1917 : l’énigme des trois maisons de Dudeney.

Voici son énoncé : trois familles voisinent se détestant mutuellement ont besoin, comme toute personne, d’eau, d’électricité et de gaz et doivent donc accéder quand elles le veulent aux trois usines. Vous êtes le maire de la ville où habitent ces familles. Elles vous demandent de l’aide pour l’accès aux usines et expliquent qu’elles souhaitent que vous construisiez les routes d’accès de chacune des maisons à chacune des usines, cependant, elles ne doivent pas se croiser pour éviter tout problème.

Plus clairement, dans le schéma ci-contre, il faut que chaque maison soit reliée à chaque usine sans qu’aucun trait de liaison n’en croise un autre.

MAIS, avant que vous n’essayiez (c’est assez tentant je l’avoue), ceci est IMPOSSIBLE.

L’insolubilité des trois maisons de Dudeney a (Malheureusement ?) été démontrée.

Afin de la prouver, il a fallu étudier la théorie des graphes.

Un graphe demeure, en simple, un ensemble de sommets reliés par des arêtes. Un graphe se dit planaire lorsque ses arêtes ne se croisent jamais (comme dans l’image ci-contre à droite). Nous cherchons donc pour notre énigme un graphe planaire.

agreg:cours:graphes [WikiLuc] — À gauche un graphe non planaire et à droite un graphe planaire.

En théorie des graphes, pour les graphes planaires, nous connaissons une formule, celle d’Euler :

S + R = A + 2

Où S = Nombre de sommets ; R = Nombre de régions du graphe ; A = Nombre d’arêtes

Ci-dessous un graphe légendé avec une région, un sommet et une arête :

Par exemple ci-dessus, le graphe a 6 régions (l’extérieur du graphe compte comme une région), 5 sommets et 9 arêtes. Vérifions la formule d’Euler :

S + R = 5 + 6 = 11

A + 2 = 9 + 2 = 11

S + R = A + 2

Revenant à nos moutons avec nos nouvelles connaissance, il nous faut pour nos familles un graphe planaire qui doit posséder 6 sommets (3 usines et 3 maisons donc 6 sommets) et 9 arêtes (3 chemins x 3 maisons). Donc puisque S + R = A + 2 ; 6 + R = 9 + 2 ce qui nous amène au fait qu’il doit y avoir 5 régions.

Puisque chaque arête intervient dans la délimitation de 2 régions, on aura une moyenne de 3,6 arêtes par régions (pour les curieux : 2A/R = 2 x 9 / 5 = 3,6). De cette manière, chaque région doit être délimitée par 3 régions au moins ; mais, cette dernière affirmation impliquerait que soient reliés des usines entre elles ou des maisons entre elles, ce qui reste contre les règles de l’énigme. Il reste donc impossible de résoudre l’énigme, vous avez avec moi démontrer que les trois maisons de Dudeney est insoluble, BRAVO !

Pour faire passer le temps, vous pouvez toujours quand même essayer de démontrer l’indémontrable, mais, enre nous, ça risque de se terminer en…

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À lundi tout le monde ! Camille Jordan ça vous dit ?

Bonus confiné : Le théorème des quatre couleurs

Associant coloriage, mathématiques et géographie, le théorème des quatre couleurs pourrait vous prendre des quarts d’heures de réflexion…

En bref :

Sur toute carte 2d composée de plusieurs parties (comme une carte géographique), vous pourrez toujours colorier avec seulement quatre couleurs chaque partie sans que deux mêmes couleurs se touchent ; comme ci-dessous :

Source : https://www.youtube.com/watch?v=g_nTfZ9OgJs

Cependant, je vous arrête, n’essayez pas de trouver de contre-exemples. J’y ai moi aussi perdu des heures… et vous assure qu’un théorème porte bien son nom : il reste impossible de trouver de contre-exemples, un théorème est démontré.

Malgré ça, je dois avouer que c’est assez amusant…

À priori, vous vous dites sûrement, et c’est compréhensible, que la démonstration demeure simple et logique. Mais, elle n’a jamais été encore prouvée par un Homme.

Je m’explique : prouver le théorème des quatre couleurs nécessite d’effectuer et de traiter environ 1900 cas, ce qui prendrait tout une vie pour un humain. Solution : un ordinateur. Il ne suffisait que de rentrer les données dans un ordinateur qui s’occuperait de faire le travail et les vérifications. L’ordinateur ayant achevé sa tâche, la conjecture se transforme en théorème.

Malgré cela, le titre de théorème a été remis en cause de par le procédé de démonstration entraînant maintes polémiques au sein des mathématiques, certains considérant qu’un ordinateur peut causer divers problèmes comme un programme qui tombe mal, qu’il y ait des pannes, des cours-circuit, etc…

Ces débats ent aboutis à l’invalidité de la conjecture, mais qui, par la suite sera définitivement prouvée par une amélioration des ordinateurs, des programmes et donc une totale confiance en eux.

Si vous persistez à vouloir essayer de trouver un contre-exemple de votre côté, votre carte doit suivre les contraintes suivantes :

Les parties de la carte doivent être connexes
Il faut que moins de quatre parties ne se rencontrent en un point (comme sur un diagramme, par exemple)
(Et évidemment qu’aucune partie ne touche une autre partie de la même couleur)

Prenons par exemple un cas réel de carte géographique où une des contraintes ne s’applique pas : les quatre états américains de l’Utah, du Colorado, du Nouveau Mexique et de l’Arizona qui se rencontrent tous en angle droit. (Contrainte N°2 non respectée)

Colorado, Arizona et Utah : notre road trip de l'été dans l'Ouest ... — **Les américains ont même décidé de construire un « mini monument » montrant le point précis où les quatre États se rencontrent.** Envie d’être sur quatre États à la fois ? 😏

L’utilité du théorème ?

Il n’en a pas… Eh oui ! Ce théorème « ne sert à rien », il ne fait qu’enrichir notre savoir, est-ce pour quoi vous êtes venu lire cet article ? Je vous attends en commentaires 😉

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Merci à tous. Si vous avez aimé cet article, si vous avez apprécié ce petit bonus confiné ou pas, vous pouvez laisser un commentaire et ; À samedi pour se casser la tête avec les maisons de Dudeney… Je ne vous en dit pas plus…

Camille Jordan

Aujourd’hui, nous allons découvrir la vie du célèbre Camille Jordan.

Camille Jordan, dont vous avez peut-être déjà entendu le nom, est un mathématicien du XIXe siècle issu d’une famille de notables de traditions catholiques, oncle réputé dans l’art et la peinture et grand-père homme politique royaliste.

Après avoir mené de brillantes études à l’École polytechnique au jeune âge de 17 ans, il s’attache à la profession d’ingénieur, mais, passionné par les maths, il continue parallèlement des recherches sur de nombreuses branches mathématiques. Son succès sera assuré par son Cours d’Analyse traitant le calcul des intégrales et les équations différentielles.

Jordan excelle dans l’étude de la théorie des groupes et a permis des avancées significatives dans sa compréhension. Polyvalent, il s’intéressera aussi à la géométrie qui, d’après lui, dévoile des faces cachées sur la théorie des groupes. Lorsqu’il se panchera vers la chimie, il découvrira de nouveaux arrangements possibles des molécules et, inspiré par les travaux de Bravais, approfondira les connaissances sur la cristallographie. Par la suite, il s’intéresse aux variantes des formes bilinéaires.

Parmi ses travaux les plus connus, nous trouvons :

L’introduction de la notion d’homotopie de chemins
Un critère de convergence de séries de Fourrier
Le théorème de Jordan

Ce dernier que je trouve personnellement fascinant fera le sujet de l’article de se Mercredi. Sinon, à bientôt 😉 et n’hésitez pas à commenter.

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La suite de Fibonacci et le nombre d’or

Nous avons pu rencontrer ce lundi dans mon article, un génie des mathématiques : Leonardo Fibonacci.

Je vous ais fait une promesse et en tant qu’homme de parole, je vais aujourd’hui vous faire découvrir la fameuse suite de Fibonacci.

Pour commencer, toute découverte mathématique a une histoire, et bien évidemment, cette suite aussi.

Voici la règle de cette suite : il s’agit d’une suite de nombres dans laquelle tout nombre (à partir du troisième) est égal à la somme des deux précédents:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Il suffit de prendre deux nombres de départ. Les ajouter donne le troisième, puis le deuxième + le troisième donne le quatrième et ainsi de suite. Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. Une d’entre elles est que le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d’or, un nombre remarquable qui vaut 1.61803398…
En effet: 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538… ; 34/21 = 1.61904…et ainsi de suite…plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l’écart s’amenuise, et plus le rapport des deux nombres successifs (le plus grand / le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or 1,61803…!

En géométrie, le nombre d’or est la valeur qui correspond au rapport entre deux longueurs a (la plus grande) et b (la plus petite) telles que (a+b)/a = a/b.

Le nombre d’or était déjà utilisé par les Grecs, comme par exemple dans le Parthénon (le temple que les Grecs consacraient à certains de leurs dieux) dont le fronton est inscrit dans un rectangle dont les longueurs des côtés adjacents ont le nombre d’or comme rapport. Les peintres et architectes comme Botticelli, Dali ou Le Corbusier, pour ne citer qu’eux, l’ont utilisé dans leurs œuvres. Le nombre d’or est souvent associé à des qualités esthétiques particulières et à des proportions harmonieuses. On constate aussi généralement que le rapport de la taille d’une personne avec la hauteur de son nombril est proche du nombre d’or…

Dans la nature, on retrouve très souvent des motifs basés sur la suite Fibonacci et sur le nombre d’or. Il semblerait que la nature marque une prédilection pour la suite de Fibonacci et pour le nombre d’or.

les pommes de pins (pives)
les marguerites
les ananas
les tournesols
les cactus
les étoiles de mer
les coquilles de mollusques
les galaxies
les cyclones météorologiques
…

On remarque par exemple que le nombre de pétales des fleurs est souvent un des nombres de la suite de Fibonacci: 3, 5, 8, 13, 21, 34 ou 55. Par exemple, les lis ont 3 pétales, les boutons d’or en ont 5, les chicorées en ont 21, les marguerites ont souvent 34 ou 55 pétales, etc…

Dans certains objets de la nature, on observe aussi très souvent des spirales (spirales logarithmiques) dans lesquelles intervient le nombre d’or. Cette spirale d’or s’inscrit dans un rectangle dont les proportions (rapport de la longueur sur la hauteur) correspondent au nombre d’or (on peut construire une spirale d’or en traçant des 1/4 de cercle dans chaque carré).

On observe de même sur de nombreux objets naturels que ces spirales forment des hélices et que le nombre d’hélices est intimement lié à la suite de Fibonacci. Si on observe l’arrangement des écailles qui s’alignent et s’enroulent autour d’une pomme de pin, on constate que chaque écaille appartient à deux hélices qui tournent en sens opposés, l’hélice “gauche” et l’hélice “droite”. Si on compte le nombre d’hélices droites et le nombre d’hélices gauches, on remarque que le couple de nombres que l’on obtient est formé de deux représentants successifs de la suite de Fibonacci:

Pour expliquer pourquoi la nature semble si proche des mathématiques, il faut prendre en compte la question d’efficacité dans ces arrangements géométriques, par exemple pour favoriser le processus de croissance des plantes et l’optimisation du remplissage de l’espace. On peut se poser la question si l’esthétique géométrique n’aurait-elle pas le même effet sur les abeilles que les couleurs des fleurs, aidant ainsi à la pollinisation et donc à la reproduction des plantes? Cette fonction esthétique de la suite de Fibonacci n’a en réalité pas clairement été démontrée…

En finance dans l’analyse technique des marchés financiers, on utilise un outil appelé retracement de Fibonacci. Les retracements de Fibonacci correspondent généralement à des supports ou à des résistances naturelles sur lesquels les prix vont buter. On se base donc sur l’idée que l’on peut prédire les mouvements boursiers en fonction de ratios ou seuils qui font référence à la suite de Fibonacci. Les ratios sont obtenus en divisant un nombre de la suite de Fibonacci par le nombre suivant. Sachant que tous les analystes financiers et les traders de la planète regardent ces ratios, ils ont de fait un caractère auto-réalisateur.

Dans le morceau Lateralus du groupe américain de rock progressif Tool, le rythme et le nombre de syllabes des paroles suivent la suite de Fibonacci.

Pour écouter ce morceau, vous pourrez vous rendre sur You Tube avec ce lien : https://www.youtube.com/watch?v=Y7JG63IuaWs

Sources: https://www.podcastscience.fm/dossiers/2011/03/17/la-suite-de-fibonacci-nombre-d-or/

Fibonacci

Leonard de Pise, né à Pise vers 1170 et plus connu sous le nom de Fibonacci était le plus grand mathématicien de l’ère chrétienne du monde occidental.

Grâce à ses nombreux voyages, il s’intéressera aux algorithmes et savoirs orientaux puis consacrera 25 ans de sa vie à l’écriture de travaux dans le but de rassembler, améliorer et mettre à jour les connaissances qu’il a collectées jusque là. Fibonacci écrira en premier l’ouvrage Liber Abaci (1202), qui connaitra un grand succès et certains considère même ces écrits comme ceux qui populariseront la numérotation indo-arabe en Europe. Parmi les livres de Fibonacci, nous trouvons aussi le Liber Quadratorum (1225) qui demeure sûrement le livre le plus personnel et abouti de Fibonacci.

Par l’alternative de cette œuvre, le mathématicien nous fait par de ses recherches en arithmétique, établi le concept de congruence, trouve des triplets pythagoriciens. Aucun Homme ne fit autant évoluer et développer la théorie des nombres que notre mathématicien de la semaine.

Nous pouvons même nous permettre de dire que la période du Moyen-Âge, celle de Leonard de Pise a grâce à ce dernier connu de nouvelles envolées.

Mais Fibonacci, dans l’une de ses œuvres, a traité de la reproduction de lapins d’un point de vu digne de sa personne, donnant naissance à l’une des suites les plus connues et les plus fascinantes des mathématiques : La suite de Fibonacci !

Pour en savoir plus sur cette suite, je vous donne rendez-vous dans l’article de Mercredi !

Ghaly Sekkat, le 2 Décembre

Bonus : Le fantastique Hôtel de Hilbert

En 1891 Georg Cantor annonce au monde entier que certains infinis seraient plus grands que d’autres…

Eh bien vous devez savoir qu’en mathématiques toute chose a besoin d’être prouvée, et pout cela David Hilbert propose en 1921 sa métaphore de notre cas.

Elle est la suivante :

Nous avons un hôtel avec une infinité de chambre, toutes pleines. Alors un client arrive et veut une chambre. Le gérant de cet hôtel est un bon businessman et trouve un arrangement : le client de la chambre 0 déménagera dans la chambre 1, celui de la chambre 1 vers la chambre 2 ainsi de suite, soit : le client de la chambre n va dans la chambre n+1. La chambre 0 sera donc libre pour notre nouveau client. Nous en déduisons donc que ∞n+1=∞n (∞n = infini des entiers à partir de 0).

Je ne vous ai toujours pas perdu ?

Continuons à roder dans l’esprit de Hilbert et avançons :

Un bus arrive donc et ce bus est aussi étrange que notre hôtel : il continent une infinité de passagers qui veulent tous une chambre. Notre gérant, un bon homme d’affaire fait donc une annonce aux clients : le client de la chambre 1 ira dans la chambre 2, celui de la chambre 2 vers la chambre 4, celui de la chambre 3 vers la chambre 6, etc… Soit : le client de la chambre n vers la chambre 2n. Toutes les chambres possédant un numéro impair sont donc libres et les passagers du bus auront où loger. Nous savons donc que 2∞n=∞n.

Le lendemain, notre hôtel s’est donc vidé et pour satisfaire notre gérant : une infinité de bus avec une infinité de passagers arrive… C’est ça les affaires !

La situation se corse pour notre gérant et il décide de loger ses clients ainsi : le passager n°0 du bus n°0 logera dans la chambre 0. Le passager n°1 du bus n°0 logera dans la chambre n°1. Le passager n°0 du bus 1 logera dans la chambre n°2. On logera ensuite le premier client restant de chacun des bus 0 ; 1 ; et 2 ; dans les premières chambres libres de l’hôtel. Puis le premier client restant de chacun des bus 0 ; 1 ; 2 ; 3 logera dans les premières chambres libres de l’hôtel, ainsi de suite. À chacun des passagers sera donc assignée une chambre : Les affaires reprennent !

Nous y sommes : ∞nx∞n=∞n.

Le lendemain lorsque l’hôtel s’est entièrement vidé, un nouveau bus arrive, mais, il contient en passagers tous les nombres réels compris entre 0 et 1. Mais ça devient dur pour le businessman qui ne pourra loger que les passagers ayant un numéro décimal ou rationnel. C’est impossible de loger tous les clients : cette infinité est strictement supérieur à l’infinité des entiers (le nombre de chambres de l’hôtel) : ∞n<∞[0;1].

Pour mieux comprendre, prenons cet exemple :

Le client 1/3 occupera la chambre 0 ; le client π-3 sera accueilli dans la chambre 1 ; la chambre 2 accueillera le client [(V2)/2] ; le client 0,5 occupera la chambre 3. Ainsi, certains clients ne trouverons pas de chambre, quelque soit la manière dont on s’y prendra. Voici un nombre qui ne pourra pas se trouver dans la liste : en fonction de l’exemple précédent (1/3 dans la chambre 0 ; π-3 dans la chambre 1 ; [(V2)/2] ; 0,5 dans la chambre 3) prenons la première décimale du premier client, la deuxième décimale du deuxième client et la troisième décimale du troisième client. Transformons ensuite chaque chiffre du nombre obtenu en lui ajoutant 1 : 1 deviendra 2 ; 2 deviendra 3 ; 3 deviendra 4 ; etc… et 9 deviendra 0. Dans l’exemple, nous obtenons 0,458. Le client qui porte ce numéro ne trouvera donc pas de place dans l’hôtel puisque si sa chambre est la chambre N° n , alors la nième décimale posera problème… Ce client n’est qu’un exemple : une infinité de clients comme lui ne trouvera pas de chambre !

CQFD !!!

Source : https://www.youtube.com/watch?v=N_cDA6tF-40