Dans le précédent épisode de la série des Théorèmes de Pierre de Fermat, nous avons découvert le petit théorème de Fermat, mais pour un nom pareil, il faut bien qu’il y’en ait un grand !
Grand théorème de Fermat :
Le “grand théorème de Fermat” alias “dernier théorème de Fermat” ou encore “théorème de Fermat-Wiles” reste une autre preuve du génie de Pierre de Fermat.
Tout début avec un théorème que tout le monde connait : ENCORE le théorème de PYTHAGORE ! Youpi…
Le théorème de Pythagore énonce que dans triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse vaut la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. a2 = b2 + c2
Lors de la lecture d’un passage de l’Arithmetica de Diophante consacré au théorème de Pythagore, Fermat se pose plusieurs questions et surtout, si il était possible de trouver des entiers où s’appliquent un genre de théorème de Pythagore avec des cubes : a3 = b3 + c3 ?
En effet, le conjecture (elle n’était pas encore théorème) de Fermat énonçait, que soit n≥3 un entier, les solutions de xn + yn = zn, où x,y et z sont des entiers, vérifient toutes x y z = 0.
Autrement dit, il est impossible de trouver pour xn+yn=zn et n strictement supérieur à 2 une solution où x, y et z sont des entiers non nuls.
Mais alors, Fermat l’a-t-il démontré ?
Voici ce qu’il écrit dans la marge de la note 8 de l’ouvrage de Diophante :
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.
J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir.
Mais aujourd’hui, ce n’est pas une conjecture et bien un théorème, qui a donc une démonstration.
Nous devons cette démonstration à Andrew Wiles.
Les médias à travers le monde diffusent la fin de ce grand mythe des mathématiques qui résistait depuis plus de 350 ans à tous les mathématiciens. Le héros s’appelle Andrew Wiles, un anglais né à Cambridge en 1953. Sa mère, professeure de mathématiques l’initia dès sa plus jeune enfance au nombre. C’est à l’âge de 10 ans qu’il tombe dans le piège de Fermat en empruntant à la bibliothèque un manuel d’histoire des mathématiques traitant de la conjecture de Fermat.
Il y travaillera 7 ans dans le secret, de peur de se faire voler sa démonstration. Après une première preuve, il verra qu’une faille apparaissait dans la démonstration. Puis un matin comme les autres, il comprendra soudainement la cause de son erreur et… écrit une nouvelle de plus de 1 000 pages officiellement reconnue !
Ce coup de génie lui rapportera le prix Wolfskehl accompagnée d’une somme de 300 000 francs or de l’Académie des sciences, mais surtout la fierté de voir une conjecture devenir un théorème qui porte son nom : Théorème de Fermat-Wiles.
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