Le théorème de Jordan

Ce lundi, nous avons en bref découvert la vie de Camille Jordan, article vers lequel je vous reconduis.

Aujourd’hui, nous allons donc ensemble retracer les chemins du théorème le plus connu qu’il ai démontré, portant dignement son nom.

Le théorème : Si l’on dessine sans lever le crayon une courbe qui commence par un point et se termine en ce même point sans s’auto-couper, cette courbe partagera le plan en deux parties –> l’intérieur et l’extérieur.

Simple à démontrer ? Loin de là…

Pour comprendre le procédé de Jordan, nous nécessitons certaines connaissances :

Les courbes de Jordan :

Aussi appelées courbes fermées simples, les courbes de Jordan se définissent par un lacet simple : une courbe pouvant être tracée d’une traite dont le point de commencement reste le même que celui d’arrivée sauf qu’elle ne doit pas « s’autocroiser ». Une sorte de cercle déformé. Ci-dessous une courbe qui n’est pas une courbe de Jordan :

Plus mathématiquement, voici l’énoncé : Le complémentaire d’une courbe de Jordan dans un plan affine réel est formé d’exactement deux composantes connexes distinctes, l’une bornée et l’autre non. Toutes deux ont pour frontière la courbe de Jordan.

Contrairement à ce que vous pouvez penser, la démonstration rigoureuse de l’ex-conjecture à été complexe et plusieurs mathématiciens s’y sont collés avant Camille Jordan comme Bernard Bolzano père de la topologie.

Parmi les difficultés imposées, nous trouvons celle des plans 3d dans lesquels nous ne pouvons ni parler d’intérieur ni d’extérieur. Aussi, tous les lacets simples n’insinuent pas la simplicité, comme celui-ci :

La courbe ci-dessus, appelée flocon de Von Koch, un cas avec fractales à la longueur infinie.

La construction du flocon de Von Koch passe par plusieurs étapes.

• On commence par tracer un triangle équilatéral
• On construit un autre triangle équilatéral sur le deuxième tiers de chaque côté de la figure précédente
• Puis on continue ainsi de suite à l’infini.

On doit obtenir ça :

Ainsi, nous pouvons comprendre qu’il existe plusieurs courbes de Jordan très complexes.

Pour revenir à la démonstration du théorème, Jordan a procédé de la manière suivante pour éviter toute complexité :

D’une part, il a prouvé qui si la courbe est un polygone, alors le théorème s’applique –> Il faut prendre une courbe de Jordan polygone et tracer dans une même direction (par exemple Nord) des droites à partir d’un point qui ne touche pas les traits de la courbe. Si le nombre d’intersections de ce trait avec ceux de la courbe est pair, on colorie le point de départ de la droite en rouge, s’il est impair en bleu. On voit ensuite que tous les points bleus se trouvent dans la figure et tous les rouges à l’extérieur.

Par la suite, à partir d’arguments fondés il a pu utiliser cette expérience pour démontrer le théorème sur les polygones.

Si c’est vrai pour un polygone simple, c’est vrai pour un lacet simple (Jordan a aussi expliqué cette affirmation qui reste un peu trop complexe et longue à expliquer pour cet article).

Il a réussi avec rigueur et simplicité à DÉMONTRER le théorème !

Cependant, certains mathématiciens s’obstineront à dire que la démonstration restait assez lacunaire. Un autre mathématicien (Oswald Veblen) s’y attachera donc et arrivera à son objectif mais malgré cela le théorème conservera le nom de Camille Jordan.

Sur ce, je vous quitte. N’hésitez pas à laisser un commentaire, partagez et abonnez-vous à la Newsletter pour recevoir un mail à chaque nouvel article.