En 1891 Georg Cantor annonce au monde entier que certains infinis seraient plus grands que d’autres…
Eh bien vous devez savoir qu’en mathématiques toute chose a besoin d’être prouvée, et pout cela David Hilbert propose en 1921 sa métaphore de notre cas.
Elle est la suivante :
Nous avons un hôtel avec une infinité de chambre, toutes pleines. Alors un client arrive et veut une chambre. Le gérant de cet hôtel est un bon businessman et trouve un arrangement : le client de la chambre 0 déménagera dans la chambre 1, celui de la chambre 1 vers la chambre 2 ainsi de suite, soit : le client de la chambre n va dans la chambre n+1. La chambre 0 sera donc libre pour notre nouveau client. Nous en déduisons donc que ∞n+1=∞n (∞n = infini des entiers à partir de 0).
Je ne vous ai toujours pas perdu ?
Continuons à roder dans l’esprit de Hilbert et avançons :
Un bus arrive donc et ce bus est aussi étrange que notre hôtel : il continent une infinité de passagers qui veulent tous une chambre. Notre gérant, un bon homme d’affaire fait donc une annonce aux clients : le client de la chambre 1 ira dans la chambre 2, celui de la chambre 2 vers la chambre 4, celui de la chambre 3 vers la chambre 6, etc… Soit : le client de la chambre n vers la chambre 2n. Toutes les chambres possédant un numéro impair sont donc libres et les passagers du bus auront où loger. Nous savons donc que 2∞n=∞n.
Le lendemain, notre hôtel s’est donc vidé et pour satisfaire notre gérant : une infinité de bus avec une infinité de passagers arrive… C’est ça les affaires !
La situation se corse pour notre gérant et il décide de loger ses clients ainsi : le passager n°0 du bus n°0 logera dans la chambre 0. Le passager n°1 du bus n°0 logera dans la chambre n°1. Le passager n°0 du bus 1 logera dans la chambre n°2. On logera ensuite le premier client restant de chacun des bus 0 ; 1 ; et 2 ; dans les premières chambres libres de l’hôtel. Puis le premier client restant de chacun des bus 0 ; 1 ; 2 ; 3 logera dans les premières chambres libres de l’hôtel, ainsi de suite. À chacun des passagers sera donc assignée une chambre : Les affaires reprennent !
Nous y sommes : ∞nx∞n=∞n.
Le lendemain lorsque l’hôtel s’est entièrement vidé, un nouveau bus arrive, mais, il contient en passagers tous les nombres réels compris entre 0 et 1. Mais ça devient dur pour le businessman qui ne pourra loger que les passagers ayant un numéro décimal ou rationnel. C’est impossible de loger tous les clients : cette infinité est strictement supérieur à l’infinité des entiers (le nombre de chambres de l’hôtel) : ∞n<∞[0;1].
Pour mieux comprendre, prenons cet exemple :
Le client 1/3 occupera la chambre 0 ; le client π-3 sera accueilli dans la chambre 1 ; la chambre 2 accueillera le client [(V2)/2] ; le client 0,5 occupera la chambre 3. Ainsi, certains clients ne trouverons pas de chambre, quelque soit la manière dont on s’y prendra. Voici un nombre qui ne pourra pas se trouver dans la liste : en fonction de l’exemple précédent (1/3 dans la chambre 0 ; π-3 dans la chambre 1 ; [(V2)/2] ; 0,5 dans la chambre 3) prenons la première décimale du premier client, la deuxième décimale du deuxième client et la troisième décimale du troisième client. Transformons ensuite chaque chiffre du nombre obtenu en lui ajoutant 1 : 1 deviendra 2 ; 2 deviendra 3 ; 3 deviendra 4 ; etc… et 9 deviendra 0. Dans l’exemple, nous obtenons 0,458. Le client qui porte ce numéro ne trouvera donc pas de place dans l’hôtel puisque si sa chambre est la chambre N° n , alors la nième décimale posera problème… Ce client n’est qu’un exemple : une infinité de clients comme lui ne trouvera pas de chambre !
CQFD !!!
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